历史｜推步聚顶测妖田？这题我会——显微镜下的明朝数学(3)

“鞋带公式”图解
所谓“推步聚顶”其实运用了“鞋带公式”
有没有比“割补之术”更好的方法呢？帅家默隐约记得，小时候曾听父亲帅敦诚讲过一种无需割补、直接测量的技术，也就是贯穿本剧的“推步聚顶之术”，至于技术细节，他实在记不得了。直到第14集，他突然想通父亲当年的算法，还背诵出“推步聚顶”的口诀：“先牵经纬以衡量，再点原初标步长。田形取顶分别数，再算推步知地方。”
单凭这四句口诀，我们肯定搞不懂“推步聚顶”究竟是怎么一回事，然而参照剧中的操作，就能看出端倪。在第14集，帅家默丈量一块最难计算的“妖田”，他先在该“妖田”的每一个顶点打桩，再横平竖直地拉开绳尺，以绳尺左侧交汇处为原点，分别测算各个顶点到原点的长宽步数，将这些数字成对排列，交叉计算……
曾有观众为帅家默的计算过程提出解释，说“推步聚顶”运用了微积分。其实，以上测量和计算过程使用的数学原理并非微积分，而是“鞋带公式”。“鞋带公式”是利用坐标计算不规则多边形面积的理论方法。简单说，在测量地块之前，先要建立一个平面直角坐标系，分别测量该地块所有顶点的坐标，再沿着同一个方向（顺时针或逆时针）为这些坐标依次编号，列成一张上下排列的数表，再像穿鞋带一样，将相邻坐标的x值和y值交叉相乘，循环相减，将差相加，求得总和，将总和取绝对值，再除以2，即是该地块的面积。
举例说，有一块不规则五边形农田，共有5个顶点，顺时针测量，这些顶点的坐标分别是（3,4）、（5,11）、（12,8）、（9,5）、（5,6）。依据“鞋带公式”，相邻坐标交叉相乘，循环相减：3×11-4×5，5×8-11×12，12×5-8×9，9×6-5×5，5×5-6×3；得到5个数：13、-92、-12、29、2；这些数相加，总和是-60；取绝对值，得60；再除以2，得30。所以，这块地的面积就是30。如果测量各坐标时用的单位是丈，面积即为30平方丈，明朝60平方丈为一亩，这块地的面积就是半亩。
在测量技术上明朝并没有任何突破
“鞋带公式”是德国数学家德雷斯特（Albrecht Ludwig Friedrich Meister）在公元1769年提出的。几十年后，另一位德国数学家高斯（Carolus Fridericus Gauss）给出该公式的证明，并且用矩阵运算予以简化。所以，这个公式又被称为“高斯面积公式”。